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数学の大統一に挑む

数学の大統一に挑む

作者 エドワード・フレンケル
出版社 文藝春秋
出版日 2015年07月13日

xのn乗 + yのn乗 = zのn乗

上の方程式でnが3以上の自然数の場合、これを満たす解はない。
私はこれについての真に驚くべき証明を知っているが、ここには余白が少なすぎて記せない。

17世紀の学者フェルマーが書き残したこの一見簡単そうな「フェルマーの予想」を証明するために360年にわたって様々な数学者が苦悩した。

360年後にイギリスのワイルズがこれを証明するが、その証明の方法は、谷村・志村予想というまったく別の数学の予想を証明すれば、フェルマーの最終定理を証明することになるというものだった。

私たちのなじみの深いいわゆる方程式や幾何学とはまったく別の数学が数学の世界にはあり、それは、「ブレード群」「調和解析」「ガロア群」「リーマン面」「量子物理学」などそれぞれ別の体系を樹立している。しかし、「モジュラー」という奇妙な数学の一予想を証明することが、「フェルマーの予想」を証明することになるように、異なる数学の間の架け橋を見つけようとする一群の数学者がいた。

それがフランスの数学者によって始められたラングランス・プログラムである。

この本は、80年代から今日まで、このラングランス・プログラムをひっぱってきたロシア生まれの数学者が、その美しい数学の架け橋を、とびきり魅力的な語り口で自分の人生の物語と重ね合わせながら、書いたノンフィクションである。

レビュー

数学の統一理論ともいうべきラングランズ・プログラムの研究者である著者が、旧ソ連でのユダヤ人差別による迫害を乗り越えた自らの半生を縦軸に、そしてラングランズ・プログラムの概念とその驚くべき可能性の紹介を横軸に描いた労作。
非常にスリリングな示唆に富む驚異的な話である。

そしてさらにというべきか、しかしというべきなのか、実は本書の裏テーマともなり得る大きな問題は「プラトニズム」なのかも知れず、事実本書の最終章でもわざわざその話題に触れているのだが、それについては後述したいと思う。

さてラングランズ・プログラムであるが、例えば「数論」「解析学」「幾何学」といった風に細分化・専門化され、さらにその中での抽象化・先鋭化が極端に進んだ現代数学において、「アプリオリには関係ない」それぞれの分野にもかかわらず、実は重要な構造が隠されていて、その構造同士につながりがあるという概念であり、最終的には数学の大統一理論にも到達する可能性も考えようとする壮大な話である。
さらに著者はそこに「量子物理学」まで取り込もうと考え、そしていくつかの成果もあげているとのことであるから、こうなると数学の範疇も超えた統一性の探求という話になってくる。

例えば「哲学的な何か、あと数学とか:飲茶」で言及された『フェルマーの最終定理』や「ヒッグス粒子の謎:浅井祥仁」触れられる『素粒子発見の予測』なども、そういった本来は関係ないと思われていた数学の別分野の関連性が重要であったとのことである。
というわけであるから、数学の各分野の専門性及びそれらの隠された構造とその関連性についての理解が必要な話であるので、とてもではないが私の手に負えるものではないのであった。

実のところ統一理論としてのラグランズ・プログラムは、懐疑的に考える数学者も少なくないようであり、もちろんその是非について私が判断できる訳もないのだが、何れにしても本書の最大の目的はラングランズ・プログラム自体を理解させるところ以上に、著者自身が『はじめに』で書いているのだが「数学の威力と美しさを見てもらいたい」とのことであるので、その目論見は十二分に達せられるとても面白く興味深い作品であると思った。

さてここからは従来なら「蛇足」として区切って話すべき内容であるが、著者自身がわざわざ触れた「プラトニズム」について考察しておきたい。
従ってここからの話は、基本的には個人的な問題意識に関連した妄想である。

さて過去のレビューにおいても繰り返し触れてきたように、最近は「木田元」→「河合隼雄」→「森田真生」→「飲茶」→「浅井祥仁(ヒッグス粒子の謎)」→「丸山圭三郎」→「藤田一郎(脳はなにを見ているのか)」→「橋元淳一郎(時間はどこで生まれるのか)」などと読み進めてきた。
そこでの個人的な面白がり方として「形而上学的思想v.sそれを乗り越えようとする思想」といった側面があったが、木田元が指摘する通りここでの「形而上学的思想」というのは時と場合によって「真理」や「神」や「プラトニズム」と置き換えても良いであろう。

さていわゆる数学という存在についてであるが、例えば著者は次のような表現をしている。
「数学者のほとんどは、数式と数学的概念は、われわれの生きるこの世界とは切り離された、別の世界に棲んでいると考えている。」
「数学のプラトン的世界は、物理的世界とも、われわれの頭の中の世界とも、切り離されたところに存在していると信じている。」
「数学的な思想や観念の棲む世界は、数学的対象が人間の理性的活動とは無関係だとする思想を最初に打ち出したギリシャの哲学者プラトンにちなんで、しばしば『数学のプラトン的世界』と呼ばれる。」

これはちょっと考えれば理解できることで、いわゆる数学的な普遍性は個人的な体験や嗜好を超えた存在である限りにおいて、正にプラトンのイデアのような絶対的な存在といえそうである。

ところがである。
ラグランズ・プログラム自体の是非は兎も角として、少なくとも数学においては「アプリオリには関係ない各分野の領域に重要な構造が隠されていて、その構造同士につながりがある」ことは実証されているというのである。
これはつまり現象論的にいえば、数学的な何かが実世界において「数論」「解析学」「幾何学」といったかたちで顕在化しているとも表現できるのではないだろうか。
そういう意味では「数学にはイデア的な側面」は確かにあるのだが、それだけにとどまらない「イデア的な存在を止揚するような構造」が隠されていたとはいえないのだろうか。

そしてこのように考えてくると「形而上学的思想 v.s それを乗り越えようとする思想」と2項対立した表記スタイルもやはり正確ではなくて、「形而上学的思想」と「それを止揚しようとする上位的な指向性」と表記すべきとの気もしてくるのであった。

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